Як спростити подкоренное вираз

Подкоренное вираз - це вираз, яке знаходиться під знаком кореня (квадратного, кубічного або більш високого порядку). Іноді значення різних виразів можуть бути однаковими, наприклад, 1 / (√2 - 1) = √2 + 1. Спрощення подкоренного вираження покликане привести його до деякої канонічної формі записи.Якщо два вирази, які записані в канонічній формі, як і раніше різні, їх значення не рівні. В математиці вважається, що канонічна форма запису підкореневих виразів (а також виразів з коренями) відповідає наступним правилам:

Якщо можна, позбудьтеся від дробу під знаком кореня
Позбавтеся від виразу з дробовим показником
Якщо можна, позбудьтеся від коренів в знаменнику
Позбавтеся від операції множення кореня на корінь
Під знаком кореня потрібно залишити тільки ті члени, з яких не можна витягти цілочисельний корінь

Ці правила можна застосувати до виконання тестових завдань. Наприклад, якщо ви вирішили задачу, але результат не збігається ні з одним з наведених відповідей, запишіть результат в канонічній формі. Майте на увазі, що відповіді до тестових завдань даються в канонічній формі, тому якщо записати результат в тій же формі, ви з легкістю визначте правильну відповідь. Якщо в задачі потрібно «спростити відповідь» або «спростити подкоренное вираження», необхідно записати результат в канонічній формі. Більш того, канонічна форма спрощує рішення рівнянь, хоча з деякими рівняннями легше впоратися, якщо на якийсь час забути про канонічну формі записи.

кроки

1. Якщо потрібно, згадайте правила виконання операцій з корінням і ступенями (Запам`ятайте: подкоренное вираз - це вираз з дробовим показником ступеня), тому що такі правила знадобляться в подальшому. Більш того, згадайте правила поводження і спрощення многочленів і раціональних виразів.

Метод 1 з 6:

Позбавлення від повних квадратів і повних кубів

1. Спростіть подкоренное вираз, яке є повним квадратом. Повний квадрат представляє собою число, яке є квадратом деякого цілого числа, наприклад, 81 - це повний квадрат, тому що 9 ^ 2 = 9 х 9 = 81. Щоб спростити подкоренное вираз, яке є повним квадратом, просто позбудьтеся від знака кореня і запишіть ціле число (при зведенні якого в квадрат вийде подкоренное вираз).

Наприклад, 121 - це повний квадрат, тому що 11 х 11 = 121. Таким чином, √121 = 11 (тобто позбавляємося від знака кореня і записуємо ціле число).
Щоб полегшити обчислення, запам`ятайте такі повні квадрати: 1 х 1 = 1, 2 х 2 = 4, 3 х 3 = 9, 4 х 4 = 16, 5 х 5 = 25, 6 х 6 = 36, 7 х 7 = 49 , 8 х 8 = 64, 9 х 9 = 81, 10 х 10 = 100, 11 х 11 = 121, 12 х 12 = 144.

2. Спростіть подкоренное вираз, яке є повним кубом. Повний куб являє собою число, яке є кубом деякого цілого числа, наприклад, 27 - це повний куб, тому що 3 ^ 3 = 3 х 3 X 3 = 27. Щоб спростити подкоренное вираз, яке є повним кубом, просто позбудьтеся від знака кореня і запишіть ціле число (при зведенні якого в куб вийде подкоренное вираз).

Наприклад, 343 - це повний куб, тому що 7 х 7 х 7 = 343. Таким чином, кубічний корінь з 343 дорівнює 7.

Метод 2 з 6:

Позбавлення від виразу з дробовим показником

Перетворіть вираз з дробовим показником в подкоренное вираз. Або, якщо потрібно, перетворіть подкоренное вираз у вираз з дробовим показником, але ніколи не змішуйте такі вирази в одному рівнянні, наприклад, так: √5 + 5 ^ (3/2). Припустимо, ви вирішили працювати з корнямі- квадратний корінь з n будемо позначати як √n, а кубічний корінь з n як куб√n.

1. Знайдіть вираз з дробовим показником і перетворіть його в подкоренное вираз: х ^ (a / b) = корінь b-го ступеня з x ^ a.

Якщо ступінь кореня є дріб, також позбудьтеся від неї. Наприклад, корінь 2/3-го ступеня з 4 = (√4) ^ 3 = 2 ^ 3 = 8.

2. Перетворіть вираз з негативним показником в відповідне дробове вираження: х ^ (- y) = 1 / х ^ у.

Це відноситься тільки до постійних, раціональним показниками. Коли член містить змінну, наприклад, 2 ^ х, не чіпайте його, навіть якщо змінна «х» є дробової або негативною.

Наведіть подібні члени і спростите будь-які раціональні вирази.

Метод 3 з 6:

Позбавлення від дробів під знаком кореня

Згідно канонічної формі записи корінь з дробу потрібно представити у вигляді поділу коренів з цілих чисел.

1. Подивіться на подкоренное вираз. Якщо воно являє собою дріб, пропустіть цей крок.

2. Замініть корінь з дробу ставленням двох коренів відповідно до наступного тотожності: √ (a / b) = √a / √b.

Не користуйтеся цим тотожністю, якщо знаменник негативний або включає змінну, яка може бути негативною. У цьому випадку спочатку спростите дріб.

3. Спростіть повні квадрати (якщо вони є). Наприклад, √ (5/4) = √5 / √4 = (√5) / 2.

4. Виконайте інші спрощення, наприклад, спростите складові дроби, приведіть подібні члени і так далі.

Метод 4 з 6:

Позбавлення від операції множення коренів

1. Якщо в рівнянні присутній операція множення кореня на корінь, об`єднайте два підкореневих вираження під одним знаком кореня згідно тотожності: √а * √b = √ (ab). Наприклад, √2 * √6 = √12.

Це тотожність справедливо тільки в тому випадку, коли подкоренное вираження не є негативними. Наприклад, √ (-1) * √ (-1) ≠ √ (1) - тут вираз зліва дорівнює -1 (або не визначено, якщо ви не вмієте працювати з комплексними числами), а вираз праворуч одно +1, тобто тотожність не виконується. Якщо «а» і / або «b» має негативне значення, скористайтеся уявною одиницею, яка позначається як i: √ (-5) = i * √5. Якщо з умови задачі знак подкоренного вираження не відомий (тобто він може бути позитивним або негативним), не чіпайте такий вислів. Або скористайтеся більш загальним тотожністю: √а * √b = √ (sgn (а)) * √ (sgn (b)) * √ (| ab |), яке виконується для всіх дійсних чисел «a» і «b», але , як правило, не варто ускладнювати рішення задачі за рахунок введення кусочно-постійної функції (sgn).
Це тотожність може бути застосовано тільки тоді, коли коріння мають однаковий ступінь. Щоб перемножити коріння з різними ступенями, спочатку потрібно перетворити їх в корені з однаковим ступенем. Наприклад, √5 * куб√7. Тимчасово перетворіть подкоренное вираження в вирази з дробовими показниками: √5 * куб√7 = 5 ^ (1/2) * 7 ^ (1/3) = 5 ^ (3/6) * 7 ^ (2/6) = 125 ^ (1/6) * 49 ^ (1/6) = (125 * 49) ^ (1/6) = 6125 ^ (1/6). Тобто вийшов корінь 6-ий ступеня з 6125.

Метод 5 з 6:

Позбавлення від множників, які є повними квадратами

розкладіть підкореневе число на множники. Множники - це деякі числа, при перемножуванні яких виходить вихідне число. Наприклад, 5 і 4 є двома множниками числа 20. Якщо з подкоренного числа не можна витягти цілочисельний корінь, розкладіть таке число на можливі множники і знайдіть серед них повний квадрат.

Наприклад, запишіть все множники числа 45: 1, 3, 5, 9, 15, 45. 9 є множником 45 (9 х 5 = 45) і повним квадратом (9 = 3 ^ 2).

2. Винесіть за знак кореня множник, який є повним квадратом. 9 являє собою повний квадрат, тому що 3 х 3 = 9. Позбавтеся від 9 під знаком кореня і запишіть 3 перед знаком корня- під знаком кореня залишиться 5. Якщо ви внесете число 3 під знак кореня, воно буде помножено на себе і на число 5, тобто 3 х 3 х 5 = 9 х 5 = 45. Таким чином, 3√ 5 - це спрощена форма запису √45.

√45 = √ (9 * 5) = √9 * √5 = 3√5.

3. Знайдіть повний квадрат в подкоренного вираженні зі змінною. Запам`ятайте: √ (a ^ 2) = | а |. Такий вираз можна спростити до «а», але тільки якщо змінна набуває додатних значень. √ (a ^ 3) можна розкласти на √а * √ (а ^ 2), тому що при перемножуванні однакових змінних їх показники складаються (а * а ^ 2 = а ^ 3).

Таким чином, в вираженні а ^ 3 повним квадратом є а ^ 2.

4. Винесіть за знак кореня змінну, яка є повним квадратом. Позбавтеся від a ^ 2 під знаком кореня і запишіть «а» перед знаком кореня. Таким чином, √ (а ^ 3) = а√а.

5. Наведіть подібні члени і спростите будь-які раціональні вирази.

Метод 6 з 6:

Позбавлення від коренів в знаменнику (раціоналізація знаменника)

1. Згідно канонічної формі знаменник, якщо можливо, повинен включати тільки цілі числа (або многочлен в разі присутності змінної).

Якщо знаменник являє собою одночлен під знаком кореня, наприклад, [чисельник] / √5, помножте чисельник і знаменник на цей корінь: ([чисельник] * √5) / (√5 * √5) = ([чисельник] * √5 ) / 5.

У разі кубічного кореня або кореня більшою мірою помножте чисельник і знаменник на корінь з подкоренное виразом у відповідній мірі, щоб раціоналізувати знаменник. Якщо, наприклад, в знаменнику знаходиться куб√5, помножте чисельник і знаменник на куб√ (5 ^ 2).

Якщо знаменник є виразом у вигляді суми або різниці квадратних коренів, таких як √2 + √6, помножте чисельник і знаменник на поєднане вираз, тобто вираз зі зворотним знаком між його членами. Наприклад: [чисельник] / (√2 + √6) = ([чисельник] * (√2 - √6)) / ((√2 + √6) * (√2 - √6)). Потім за допомогою формули різниці квадратів ((а + b) (а - b) = а ^ 2 - b ^ 2) раціоналізує знаменник: (√2 + √6) (√2 - √6) = (√2) ^ 2 - (√6) ^ 2 = 2 - 6 = -4.

Формулу різниці квадратів можна також застосовувати до вираження виду 5 + √3, тому що будь-яке ціле число є квадратним коренем з іншого цілого числа. Наприклад: 1 / (5 + √3) = (5 - √3) / ((5 + √3) (5 - √3)) = (5 - √3) / (5 ^ 2 - (√3) ^ 2) = (5 - √3) / (25 - 3) = (5 - √3) / 22

Цей метод можна застосовувати до суми квадратних коренів, таких як √5 - √6 + √7. Якщо згрупувати цей вислів у вигляді (√5 - √6) + √7 і помножити його на (√5 - √6) - √7, ви не позбудетеся від коренів, а отримаєте вираз виду а + b * √30, де « а »і« b »- одночлени без кореня. Потім отриманий вираз можна помножити на поєднане: (а + b * √30) (а - b * √30), щоб позбутися від коренів. Тобто якщо зв`язаних виразом можна скористатися один раз, щоб позбутися від деякої кількості коренів, то їм можна користуватися скільки завгодно раз, щоб позбутися від усіх коренів.

Цей метод також застосуємо до коріння більш високих ступенів, наприклад, до вираження «корінь 4-го ступеня з 3 плюс корінь 7-го ступеня з 9». В цьому випадку помножте чисельник і знаменник на вираз, поєднане висловом в знаменнику. Але тут поєднане вираз буде трохи іншим у порівнянні з тими, які описані вище. Про цей випадок можна почитати в підручниках з алгебри.

2. Спростіть чисельник після того, як ви позбулися коренів в знаменнику. У чисельнику знаходиться твір вихідного вираження і сполученого вираження. Розкрийте дужки, перемноживши відповідні члени. Наведіть подібні члени і, якщо можна, спростите отриманий вираз.

3. Якщо в знаменнику знаходиться негативне ціле число, помножте чисельник і знаменник на -1, щоб перетворити це число в позитивне.

Поради

В інтернеті є ресурси, які автоматично спрощують подкоренное вираження. Потрібно просто ввести подкоренное вираз і натиснути Enter, щоб відобразити спрощене вираз.
До деяких простим завданням описані методи застосувати не можна. У разі деяких складних завдань ці методи потрібно застосувати більш ніж один раз. Крок за кроком спрощуйте отримані вирази, а потім перевірте, записаний чи остаточну відповідь в канонічній формі, критерії якої наведені в самому початку цієї статті. Якщо відповідь представлений в канонічній формі, завдання решена- в іншому випадку ще раз скористайтеся одним з описаних методів.
Як правило, канонічна форма запису поширюється і на комплексні числа (i = √ (-1)). Навіть якщо комплексне число записано в вигляді i, а не кореня, краще позбутися i в знаменнику.
Деякі з описаних тут методів мають на увазі роботу з квадратними коренями. Загальні принципи однакові для кубічних коренів або коренів вищих ступенів, але до них досить складно застосувати деякі методи (зокрема, метод раціоналізації знаменника). Більш того, поцікавтеся у викладача про правильну записи коренів (куб√4 або куб√ (2 ^ 2)).
У деяких розділах цієї статті поняття «канонічна форма» використовується не зовсім правильно-насправді ми повинні говорити про «стандартній формі» записи. Різниця полягає в тому, що канонічна форма вимагає записувати або 1 + √2, або √2 + 1 стандартна форма має на увазі, що обидва вирази (1 + √2 і √2 +1) безсумнівно рівні, навіть якщо записані по-різному. Тут під «безсумнівно» маються на увазі арифметичні (додавання коммутативно), а не алгебраїчні властивості (√2 є невід`ємним коренем з х ^ 2-2).
Якщо описані методи здаються неоднозначними або суперечать один одному, виконайте послідовні і однозначні математичні дії, а відповідь запишіть так, як вимагає викладач або як прийнято в підручнику.