Як вирішувати рівняння з коренем (з ілюстраціями)

Хоча лякаючий вид символу квадратного кореня і може змусити скулитися людину, не сильного в математиці, завдання з квадратним коренем не такі вже й важкі, як це може спочатку здатися. Прості завдання з квадратним коренем досить часто можна вирішити так само легко, як звичайні завдання з множенням або діленням. З іншого боку, більш складні завдання можуть зажадати деяких зусиль, але з правильним підходом навіть вони не складуть вам праці. Почніть вирішувати завдання з коренем вже сьогодні, щоб навчитися цьому радикально новому математичному вмінню!

кроки

Частина 1 з 3:

Розуміння квадратів чисел і квадратних коренів

1. Зведіть число в квадрат, помноживши його саме на себе. Для того щоб зрозуміти квадратні коріння, краще почати з квадратів чисел. Квадрати чисел досить прості: зведення числа в квадрат означає множення його саме на себе. Наприклад, 3 в квадраті це те ж саме, що і 3 × 3 = 9, а 9 в квадраті це те ж саме, що і 9 × 9 = 81. Квадрати позначаються написанням невеликий цифри «2» праворуч над споруджують в квадрат числом. Приклад: 3, 9, 100 і так далі.

Спробуйте самі звести в квадрат ще кілька чисел, щоб випробувати цю концепцію. Пам`ятайте, зведення числа в квадрат означає, що це число слід помножити само на себе. Це можна зробити навіть для негативних чисел. В такому випадку результат завжди буде позитивним. Наприклад: -8 = -8 × -8 = 64.

Зображення з назвою Solve Square Root Problems Step 2

2. Коли мова йде про квадратних коренях, то тут йде зворотний процес зведення в квадрат. Символ кореня (√, його також називають радикалом) по суті означає протилежність символу . Коли ви бачите радикал, ви повинні запитати себе: «Яке число може збільшитися саме на себе, щоб вийшло число під коренем?». Наприклад, якщо ви бачите √ (9), тоді ви повинні знайти число, яке при зведенні в квадрат давало б число дев`ять. У нашому випадку цим числом буде три, тому что3 = 9.

Розглянемо ще один приклад і знайдемо корінь з 25 (√ (25)). Це означає, що нам необхідно знайти число, яке б в квадраті давало нам 25. Так як 5 = 5 × 5 = 25, можна сказати, що √ (25) = 5.

Ви також може думати про це, як про «анулювання» зведення в квадрат. Наприклад, якщо нам необхідно знайти √ (64), квадратний корінь 64, то давайте думати про це число, як про 8. Так як символ кореня «скасовує» зведення в квадрат, то ми можемо сказати, що √ (64) = √ (8) = 8.

Зображення з назвою Solve Square Root Problems Step 3

3. Знайте різницю між ідеальним і не ідеальним зведенням в квадрат. До цих пір відповідями на наші завдання з коренем були хороші і круглі числа, але це не завжди так. Відповідями завдань з квадратним коренем можуть бути дуже довгі і незручні числа з десятковим дробом. Числа, корінь яких є цілі числа (іншими словами, числа які не є дробом) називаються повними квадратами. Всі вищезгадані приклади (9, 25 і 64) є повними квадратами, тому що їх коренем буде ціле число (3,5 і 8).

З іншого боку, числа, які при зведенні під корінь не дають цілого числа, називаються неповними квадратами. Якщо поставити одне з цих чисел під корінь, то ви отримаєте число з десятковим дробом. Іноді таке число може виявитися досить довгим. Наприклад, √ (13) = +3,605551275464...

Зображення з назвою Solve Square Root Problems Step 4

4. Запам`ятайте перші 1-12 повних квадратів. Як ви, ймовірно, вже помітили, знайти корінь квадрата досить легко! Через те, що ці завдання такі прості, варто запам`ятати коріння першої дюжини повних квадратів. Ви не раз зіткнетеся з цими числами, так що витратьте трохи часу, щоб запам`ятати їх раніше і заощадити час в майбутньому.

1 = 1 × 1 = 1

2 = 2 × 2 = 4

3 = 3 × 3 = я

4 = 4 × 4 = 16

5 = 5 × 5 = 25

6 = 6 × 6 = 36

7 = 7 × 7 = 49

8 = 8 × 8 = 64

9 = 9 × 9 = 81

10 = 10 × 10 = 100

11 = 11 × 11 = 121

12 = 12 × 12 = 144

Зображення з назвою Solve Square Root Problems Step 5

5. Спростіть коріння, прибравши з нього повні квадрати, якщо це можливо. Знайти корінь неповного квадрата іноді може виявитися нелегко, особливо якщо ви не використовуєте калькулятор (в розділі нижче ви знайдете кілька трюків, як зробити цей процес легше). Однак найчастіше можна спростити число під коренем, щоб з ним було легше працювати. Щоб зробити це, вам просто необхідно розділити число під коренем на множники, а потім знайти корінь множника, який є повним квадратом, і записати його зовні кореня. Це простіше, ніж здається. Читайте далі, щоб отримати більше інформації.

Давайте припустимо, що нам необхідно знайти квадратний корінь 900. На перший погляд це здається досить важким завданням! Однак це не буде так важко, якщо ми розділимо число 900 на множники. Множники - це числа, які множаться один на одного для того, щоб дати нове число. Наприклад, число 6 можна отримати, помноживши 1 × 6 і 2 × 3, його множителями будуть числа 1, 2, 3 і 6.

Замість того щоб шукати корінь числа 900, що трохи важко, давайте запишемо 900, як множення 9 × 100. Тепер, коли число 9, яке є повним квадратом, відокремлене від 100, ми можемо знайти його корінь. √ (9 × 100) = √ (9) × √ (100) = 3 × √ (100). Іншими словами, √ (900) = 3√ (100).

Ми навіть можемо піти ще далі, розділивши 100 на два множники, 25 і 4. √ (100) = √ (25 × 4) = √ (25) × √ (4) = 5 × 2 = 10. Тому ми можемо сказати, що √ (900) = 3 (10) = 30

Зображення з назвою Solve Square Root Problems Step 6

6. Використовуйте уявні числа, щоб знайти корінь негативного числа. Запитайте себе, яке число при множенні саме на себе дасть -16? Це не 4 і не -4, так як зведення цих чисел в квадрат дасть нам позитивний число 16. здалися? Насправді не існує способу записати корінь -16 або будь-якого іншого негативного числа звичайними числами. В такому випадку ми повинні підставити уявні числа (зазвичай у формі букв або символів), щоб вони виявилися замість кореня негативного числа. Наприклад, змінна «i» зазвичай використовується для зведення під корінь числа -1. Як правило, коренем негативного числа завжди буде уявне число (або включене в нього).

Знайте, що хоча уявні числа і не можуть бути представлені звичайними цифрами, до них все одно можна ставитися, як до таких. Наприклад, квадратний корінь негативного числа можна звести в квадрат, щоб надати цим негативним числах, як і будь-яким іншим, квадратний корінь. Наприклад, i = -1

Частина 2 з 3:

Використання алгоритму ділення стовпчиком

1. Запишіть завдання з коренем, як завдання ділення стовпчиком. Хоча це може відняти досить багато часу, таким чином, ви зможете вирішити задачу з коренем неповних квадратів, не вдаючись до допомоги калькулятора. Для цього ми скористаємося методом вирішення (або алгоритмом), який схожий (але не точно такий же) на звичайне ділення стовпчиком.

Для початку запишіть завдання з коренем в таку ж форму, що і при розподілі стовпчиком. Припустимо, що ми хочемо знайти квадратний корінь числа 6,45, яке точно не є повним квадратом. Спершу ми напишемо звичайний символ квадрата, а потім під ним ми напишемо число. Далі над числом ми намалюємо лінію, щоб воно виявилося в невеликий «коробочці», так само як і при розподілі стовпчиком. Після цього у нас вийде корінь з довгим хвостом і числом 6,45 під ним.
Над коренем ми будемо писати числа, так що обов`язково залиште там місце.

Зображення з назвою Solve Square Root Problems Step 8

2. Згрупуйте цифри по парам. Для того щоб почати вирішувати задачу, необхідно згрупувати цифри числа під радикалом по парам, почавши з точки в десяткового дробу. Якщо хочете, можете робити невеликі позначки (на кшталт точок, косою лінії, ком та іншого) між парами, щоб не заплутатися.

У нашому прикладі, ми повинні розділити на пари число 6,45 наступним чином: 6, 45-00. Зверніть увагу, що зліва присутня «залишилася» цифра - це нормально.

Зображення з назвою Solve Square Root Problems Step 9

3. Знайдіть найбільше число, квадрат якого менше або дорівнює першої «групі». Почніть з першого числа або пари зліва. Виберіть найбільше число, квадрат якого менше або дорівнює залишилася «групі». Наприклад, якби група дорівнювала 37, ви б обрали число 6, тому що 6 = 36 < 37> 37. Запишіть це число над першою групою. Це буде першою цифрою вашої відповіді.

У нашому прикладі, першою групою в 6, 45-00 буде цифра 6. Найбільше число, яке в квадраті буде менше або дорівнює 6 це 2 = 4. Напишіть цифру 2 над цифрою 6, яка стоїть під коренем.

Зображення з назвою Solve Square Root Problems Step 10

4. Подвійте щойно написаний число, потім опустіть його під корінь і відніміть. Візьміть першу цифру вашої відповіді (число, яке ви тільки що знайшли) і подвійте її. Запишіть результат під першою своєю групою і відніміть, щоб знайти різницю. Опустіть наступну пару чисел поруч з відповіддю. І нарешті, напишіть зліва останню цифру подвоєння першої цифри своєї відповіді, а поруч залиште пробіл.

У нашому прикладі, ми почнемо з подвоєння цифри 2, яка є першою цифрою нашої відповіді. 2 × 2 = 4. Потім ми віднімемо 4 від 6 (нашої першої «групи»), отримавши при цьому 2. Далі ми опустимо наступну групу (45), щоб отримати 245. І нарешті, зліва ми ще раз напишемо цифру 4, залишивши в кінці невеличка прогалина, ось так: 4_

Зображення з назвою Solve Square Root Problems Step 11

5. заповніть пропуск. Потім ви повинні додати цифру до правої частини записаного числа, яке знаходиться зліва. Виберіть цифру, перемноживши яку з вашим новим числом, ви отримали б максимально великий результат, але який би був менше або дорівнює «опущеного« числу ». Наприклад, якщо ваше «опущене» число дорівнює 1700, а ваше число зліва це 40_, в прогалину необхідно написати цифру 4, так як 404 × 4 = 1616 < 1700>

У нашому прикладі, ми повинні знайти число і записати його в прогалини 4_ × _, що зробить відповідь якомога більшою, але все ж меншим або рівним 245. У нашому випадку це цифра 5. 45 × 5 = 225, в той час як 46 × 6 = 276

Зображення з назвою Solve Square Root Problems Step 12

6. Продовжуйте використовувати «порожні» числа, щоб знайти відповідь. Продовжуйте вирішувати це змінене ділення стовпчиком, поки не почнете отримувати нулі при відніманні «опущеного» числа або поки не отримаєте бажаний рівень точності відповіді. Коли ви закінчите, числа, які ви використовували, щоб заповнити прогалини в кожному кроці (плюс найперше число) становитимуть число вашої відповіді.

Продовжуючи наш приклад, ми віднімемо 225 від 245, щоб отримати 20. Потім, ми опустимо наступну пару чисел, 00, щоб отримати 2000. Подвоїмо число над знаком кореня. Ми отримаємо 25 × 2 = 50. Вирішивши приклад з пробілами, 50_ × _ = /< 2>

Зображення з назвою Solve Square Root Problems Step 13

7. Наведіть точку десяткового дробу вперед від початкового «діленого» числа. Щоб завершити свою відповідь, ви повинні поставити крапку десяткового дробу в правильне місце. На щастя, зробити це досить легко. Все, що вам необхідно зробити, це вирівняти її відносно точки початкового числа. Наприклад, якщо під коренем буде стояти число 49,8, ви повинні будете поставити крапку між двома цифрами над дев`яткою і вісімкою.

У нашому прикладі під радикалом варто число 6,45, так що ми просто перемістимо точку і поставимо її між цифрами 2 і 5 в нашій відповіді, отримавши при цьому відповідь рівний 2,539.

Частина 3 з 3:

Швидкий підрахунок неповних квадратів

1. Знайдіть неповні квадрати, підрахувавши їх. Коли ви запам`ятаєте повні квадрати, пошук кореня неповних квадратів стане набагато простіше. Так як ви вже знаєте дюжину повних квадратів, будь-яке число, яке потрапляє в область між цими двома повними квадратами можна знайти, звівши все до приблизним підрахунком між цих значень. Почніть з пошуку двох повних квадратів, між якими знаходиться ваше число. Потім визначте, до якого з цих чисел ваше число знаходиться ближче.

Наприклад, припустимо, що нам необхідно знайти квадратний корінь числа 40. Так як ми запам`ятали повні квадрати, ми можемо сказати, що число 40 знаходиться між 6 і 7ілі числах 36 і 49. Так як 40 більше 6, його корінь буде більше 6, а так як воно менше 7, його корінь також буде і менше 7. 40 трохи ближче до 36, ніж до 49, так що відповідь, швидше за все, буде трохи ближче до 6. У наступних декількох кроках ми сузим наша відповідь.

Зображення з назвою Solve Square Root Problems Step 15

2. Підрахуйте квадратний корінь до першого знака після десяткового дробу. Після того як ви оберете два повних квадрата, серед яких знаходиться ваше число, все зводиться до вашого підрахунку, поки ви не отримаєте бажану відповідь. Чим більше ви підрахуєте, тим точнішим буде ваша відповідь. Почніть з того, що виберіть, куди поставити крапку десяткового дробу в свою відповідь. Вона не повинна обов`язково бути вірною, але зате ви заощадите час, якщо скористаєтеся логікою і поставите точку якомога ближче до правильної відповіді.

У нашому прикладі, розумною оцінкою квадратного кореня числа 40 може бути 6,4, так як, виходячи з вищезазначеної інформації, ми знаємо, що відповідь ближче до 6, ніж до 7.

Зображення з назвою Solve Square Root Problems Step 16

3. Помножте приблизне число саме на себе. Наступне, що ви повинні зробити, це звести приблизне число в квадрат. Вам, швидше за все, не пощастить і ви не отримаєте початкове число. Воно буде або трохи більшим, або трохи меншим. Якщо ваш результат занадто великий, тоді спробуйте знову, але з трохи меншим приблизними числом (і навпаки, якщо результат занадто низький).

Помножте 6,4 саме на себе, і ви отримаєте 6,4 × 6,4 = 40,96, що трохи більше за початкову число.

Так як наша відповідь виявився більше, ми повинні примножить число на одну десяту менше за приблизне і отримати наступне: 6,3 × 6,3 = 39,69. Це трохи менше за початкове число. Це означає, що квадратний корінь 40 знаходиться між 6,3 і 6,4. І знову, так як 39,69 ближче до 40, ніж 40,96, ми знаємо, що квадратний корінь буде ближче до 6,3, ніж до 6,4.

Зображення з назвою Solve Square Root Problems Step 17

4. Продовжуйте розрахунок. На цьому етапі, якщо ви задоволені своєю відповіддю, ви можете просто взяти перше вгадані приблизне значення. Однак якщо ви хочете отримати більш точну відповідь, все що вам необхідно зробити, це вибрати приблизне значення з двома знаками десяткового дробу, яке ставить це приблизне значення між першими двома числами. Продовживши цей підрахунок, ви зможете отримати для своєї відповіді три, чотири і більше знаків після коми. Все залежить від того, наскільки далеко ви захочете зайти.

У нашому прикладі давайте виберемо 6,33 в якості приблизного значення з двома знаками після коми. Помножте 6,33 саме на себе, щоб отримати 6,33 × 6,33 = 40,0689. так як це трохи більше нашого числа, ми візьмемо число поменше, наприклад, 6,32. 6,32 × 6,32 = 39.9424. Ця відповідь трохи менше нашого числа, так що ми знаємо, що точний квадратний корінь знаходиться між 6,32 і 6,33. Якби ми захотіли продовжити, ми б продовжували використовувати той же підхід, щоб отримати відповідь, який ставав би все точніше і точніше.

Поради

Для швидкого пошуку рішення, скористайтеся калькулятором. Більшість сучасних калькуляторів можуть миттєво знайти квадратний корінь числа. Все що вам необхідно зробити, це ввести своє число, а потім натиснути на кнопку зі знаком кореня. Наприклад, для того щоб знайти корінь 841, ви повинні буде натиснути 8, 4, 1 і (√). В результаті чого ви отримаєте відповідь 39.