Як знайти квадратний корінь числа вручну

кроки

2. Квадратні корінь з добутку деяких членів дорівнює добутку квадратних коренів з кожного члена, тобто √ (а х b) = √a x √b. Скористайтеся цим правилом і витягніть квадратний корінь з кожного квадратного множника і перемножте отримані результати, щоб знайти відповідь.

3. Якщо подкоренное число не розкладається на два квадратних множника (а так відбувається в більшості випадків), ви не зможете знайти точну відповідь у вигляді цілого числа. Але ви можете спростити завдання, розклавши подкоренное число на квадратний множник і звичайний множник (число, з якого цілий квадратний корінь витягти не можна). Потім ви отримаєте квадратний корінь з квадратного множника і будете отримувати корінь із звичайної множника.

4. Якщо потрібно, оцініть значення кореня. Тепер можна оцінити значення кореня (знайти приблизне значення), порівнявши його зі значеннями коренів квадратних чисел, що знаходяться найближче (з обох сторін на числовій прямій) до подкоренного числу. Ви отримаєте значення кореня у вигляді десяткового дробу, яку необхідно помножити на число, що стоїть за знаком кореня.

5. Ще один спосіб - розкладіть підкореневе число на прості множники. Прості множники - числа, які діляться тільки на 1 і самих себе. Запишіть прості множники в ряд і знайдіть пари однакових множників. Такі множники можна винести за знак кореня.

2. Для першої зліва пари чисел (або одного числа) знайдіть найбільше ціле число n, квадрат якого менше або дорівнює даної парі чисел (або одного числа). Іншими словами, знайдіть квадратне число, яке розташоване найближче до першої зліва парі чисел (або одного числа), але менше її, і витягніть квадратний корінь з цього квадратного числа- ви отримаєте число n. Напишіть знайдене n зверху справа, а квадрат n запишіть знизу праворуч.

3. Відніміть квадрат числа n, яке ви тільки що знайшли, з першої зліва пари чисел (або одного числа). Результат обчислення запишіть під від`ємником (квадратом числа n).

4. Знесіть другу пару чисел і запишіть її біля значення, отриманого в попередньому кроці. Потім подвійте число зверху справа і запишіть отриманий результат знизу праворуч з додаванням "_ × _ =".

5. Заповніть прочерки справа. Знайдіть таке найбільше число на місце прокреслень справа (замість прокреслень потрібно підставити одне і теж число), щоб результат множення був менше або дорівнює поточному числу зліва.

6. Відніміть отримане число з поточного числа зліва. Запишіть результат з попереднього кроку під поточним числом зліва, знайдіть різницю і запишіть її під від`ємником.

7. Повторіть крок 4. Якщо зноситься парою чисел є дрібна частина вихідного числа, то поставте роздільник (кому) цілої та дробової частин в шуканому квадратному корені зверху справа. Зліва знесіть вниз наступну пару чисел. Подвійте число зверху справа і запишіть отриманий результат знизу праворуч з додаванням "_ × _ =".

8. Повторіть кроки 5 і 6. Знайдіть таке найбільше число на місце прокреслень справа (замість прокреслень потрібно підставити одне і теж число), щоб результат множення був менше або дорівнює поточному числу зліва.

9. Якщо для квадратного кореня вам необхідно знайти більше знаків після коми, напишіть пару нулів у поточного числа зліва і повторюйте кроки 4, 5 і 6. Повторюйте кроки, до тих пір поки не отримаєте потрібну вам точність відповіді (число знаків після коми).

розуміння процесу

1. 
   1. Для засвоєння даного методу уявіть число, квадратний корінь якого необхідно знайти, як площа квадрата S. В цьому випадку ви будете шукати довжину сторони L такого квадрата. Обчислюємо таке значення L, при якому L² = S.
2. 
   2. Задайте букву для кожної цифри у відповіді. Позначимо через A першу цифру в значенні L (шуканий квадратний корінь). B буде другою цифрою, C - третьої і так далі.
3. 
   3. Задайте букву для кожної пари перших цифр. Позначимо через S_a першу пару цифр в значенні S, через S_b - другу пару цифр і так далі.
4. 
   4. Усвідомте зв`язок даного методу з розподілом в стовпчик. Як і в операції ділення, де кожен раз нас цікавить тільки одна наступна цифра діленого числа, при обчисленні квадратного кореня ми послідовно працюємо з парою цифр (для отримання однієї наступної цифри в значенні квадратного кореня).
5. 
   5. Розглянемо першу пару цифр Sa числа S (Sa = 7 в нашому прикладі) і знайдемо її квадратний корінь. В цьому випадку першою цифрою A шуканого значення квадратного кореня буде така цифра, квадрат якої менше або дорівнює S_a (Тобто шукаємо таке A, при якому виконується нерівність A² ≤ Sa < (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3>
6. Припустимо, що потрібно розділити 88962 на 7 тут перший крок буде аналогічним: розглядаємо першу цифру діленого числа 88962 (8) і підбираємо таке найбільше число, яке при множенні на 7 дає значення менше або рівне 8. Тобто шукаємо таке число d, при якому вірно нерівність: 7 × d ≤ 8 < 7>
7. 
   6. Подумки уявіть квадрат, площа якого вам потрібно обчислити. Ви шукайте L, тобто довжину сторони квадрата, площа якого дорівнює S. A, B, C - цифри в числі L. Записати можна інакше: 10А + B = L (для двозначного числа) або 100А +10 В + С = L (для тризначного числа) і так далі.
8. нехай (10A + B) ² = L² = S = 100A² + 2 × 10A × B + B². Запам`ятайте, що 10A + B - це таке число, у якого цифра B означає одиниці, а цифра A - десятки. Наприклад, якщо A = 1 і B = 2, то 10A + B дорівнює числу 12.(10A + B) ² - це площа всього квадрата, 100A² - площа великого внутрішнього квадрата, B² - площа малого внутрішнього квадрата, 10A × B - площа кожного з двох прямокутників. Склавши площі описаних фігур, ви знайдете площа вихідного квадрата.
9. 
   7. Відніміть A² з S_a.Для обліку множника 100 знесіть одну пару чисел (S_b) З S: вам потрібно, щоб "SaSb" було рівним загальної площі квадрата, і з неї відніміть 100A² (площа великого квадрата). В результаті отримаєте число N1, що стоїть ліворуч в кроці 4 (N = 380 в нашому прикладі). N1 = 2 × 10A × B + B² (площа двох прямокутників плюс площа малого квадрата).
10. 
    8. Вираз N1 = 2 × 10A × B + B² можна записати як N1 = (2 × 10A + B) × B. У нашому прикладі вам відомо значення N1 (= 380) і A (= 2) і необхідно обчислити B. Швидше за все, B не є цілим числом, тому необхідно знайти найбільше ціле B, що задовольняє умові: (2 × 10A + B) × B ≤ N1. При цьому B + 1 буде занадто великим, тому N1 < (2×10A + (B+1)) × (B+1).
11. 
    9. Розв`яжіть рівняння. Для вирішення помножте A на 2, переведіть результат в десятки (що еквівалентно множенню на 10), помістіть B в положення одиниць, і помножте це число на B. Це число (2 × 10A + B) × B і цей вислів абсолютно ідентичні записи "N_ × _ =" (де N = 2 × A) зверху справа в кроці 4. А за крок 5 ви знаходите найбільше ціле B, яке ставиться на місце прокреслень і відповідає нерівності: (2 × 10A + B) × B ≤ N1.
12. 
    10. Відніміть площа (2 × 10A + B) × B із загальної площі (зліва в кроці 6). Так ви отримаєте площа S- (10A + B) ², яка ще не враховувалася (і яка допоможе обчислити такі цифри).
13. 
    11. Для обчислення наступної цифри C повторіть процес. Зліва знесіть наступну пару цифр (Sc) з S для отримання N2 і знайдіть найбільше C, що задовольняє умові (2 × 10 × (10A + B) + C) × C ≤ N2 (що еквівалентно двократному написання числа з пари чисел "AB" з відповідним "_ × _ =", і знаходження найбільшого числа, яке можна підставити замість прокреслень).

• Переміщення десяткового роздільника при збільшенні числа на 2 цифри (множник 100), переміщує десятковий розділити на одну цифру в значенні квадратного кореня цього числа (множник 10).
• У нашому прикладі, 1,73 може вважатися залишком: 780,14 = 27,9² + 1,73.
• Даний метод вірний для будь-яких чисел.
• Записуйте процес обчислення в тому вигляді, який вам найбільш зручний. Наприклад, деякі записують результат над вихідним числом.
• Альтернативний метод з використанням неперервних дробів включає формулу: √z = √ (x ^ 2 + y) = x + y / (2x + y / (2x + y / (2x + ...))). Наприклад, для обчислення квадратного кореня з 780,14, цілим числом, квадрат якого близький до 780,14 буде число 28, тому z = 780,14, x = 28, y = -3,86. Підставляючи ці значення в рівняння і вирішуючи його в спрощенні до х + у / (2x), вже в молодших членах отримуємо результат 78207/2800 або близько 27,931 (1), а в наступних членах 4374188/156607 або близько 27,930986 (5). Рішення кожного наступного члена додає близько 3 цифр до дробової частки в порівнянні з попереднім членом.

• Не забудьте розділити число на пари, починаючи з дробової частини числа. Наприклад, розділяючи +79520789182,47897 як "79 52 07 89 18 2,4 78 97 ", ви отримаєте безглузде число.

• Як обчислити кубічний корінь вручну
• Як знайти середнє геометричне
• Як перемножити квадратного кореня
• Як додавати і віднімати квадратний корінь
• Як спростити квадратний корінь
• Як ділити квадратні корені