Як вирішувати квадратні рівняння

Квадратним рівнянням називається таке рівняння, в якому найбільше значення ступеня змінної дорівнює 2. Існують три основні способи вирішення квадратних рівнянь: якщо можливо, розкласти квадратне рівняння на множники, використовувати формулу коренів квадратного рівняння або доповнити до повного квадрата. Хочете дізнатися, як же все це робиться? Читайте далі.

кроки

Метод 1 з 3:

Розкладання рівняння на множники

1. Сложітевсе схожі елементи і перенесіть в одну частину рівняння. Це і буде першим кроком, значення

з 2

$x ^ {2}$ при цьому має залишатися позитивним. Складіть або відніміть все значення

з 2

$x ^ {2}$ ,

з

і постійних, перенісши все в одну частину і залишивши 0 в інший. Ось як це робиться:

$2 x 2 - 8 з - 4 = 3 з - з^{2}$ $2x ^ {2} -8x-4 = 3x-x ^ {2}$
$2 з 2 + з^{2} - 8 з - 3 з - 4 = 0$ $2x ^ {2} + x ^ {2} -8x-3x-4 = 0$
$3 з 2 - 11 з - 4 = 0$ $3x ^ {2} -11x-4 = 0$

Зображення з назвою Solve Quadratic Equations Step 2

2. Розкладіть вираз на множники. Для цього потрібно використовувати значення

з 2

$x ^ {2}$ (3), постійні значення (-4), вони повинні перемножуємо і утворювати -11. Ось як це зробити:

3 з 2

$3x ^ {2}$ має тільки два можливих множника:

3 з

з

, так що їх можна записати в дужках:

(3 з \pm ?) (з \pm ?) = 0

Далі, підставляючи множники 4, знайдемо комбінацію, при множенні дає -11x. Можна використовувати комбінацію 4 і 1, або 2 і 2, так як і те, і інше дає 4. Пам`ятайте, що значення повинні бути негативні, адже у нас -4.

Методом проб і помилок ви отримаєте комбінацію

(3 з + 1) (з - 4)

. При множенні отримуємо

3 з 2 - 12 з + з - 4

$3x ^ {2} -12x + x-4$ . Поєднавши

- 12 з

з

, отримуємо середній член

- 11 з

, який ми і шукали. Квадратне рівняння розкладено на множники.

Для прикладу спробуємо невідповідну комбінацію: (

(3 з - 2) (з + 2)

3 x 2 + 6 з - 2 з - 4

$3x ^ {2} + 6x-2x-4$ . Об`єднавши, отримаємо

3 з 2 - 4 з - 4

$3x ^ {2} -4x-4$ . Хоча множники -2 і 2 при множенні дають -4, середній член не підходить, адже ми хотіли отримати

- 11 з

, а не

- 4 з

Зображення з назвою Solve Quadratic Equations Step 3

3. Прирівняти кожен вираз в дужках до нуля (як окремі рівняння). Так ми знайдемо два значення

з

, при яких всі рівняння дорівнює нулю,

(3 з + 1) (з - 4)

= 0. Тепер залишається прирівняти до нуля кожне з виразів в дужках. чому? Справа в тому, що добуток дорівнює нулю тоді, коли хоча б один із множників дорівнює нулю. Так як

(3 з + 1) (x - 4)

дорівнює нулю, то або (3x + 1), або (x - 4) дорівнює нулю. Запишіть

3 x + 1 = 0

x - 4 = 0

Зображення з назвою Solve Quadratic Equations Step 4

4. Вирішіть кожне рівняння окремо. У квадратному рівнянні x має два значення. Вирішіть рівняння і запишіть значення x:

Розв`яжіть рівняння 3x + 1 = 0

3x = -1 ..... шляхом вирахування

3x / 3 = -1/3 ..... шляхом ділення

x = -1/3 ..... після спрощення

Розв`яжіть рівняння x - 4 = 0

x = 4 ..... шляхом вирахування

x = (-1/3, 4)..... можливі значення, тобто x = -1/3 або x = 4.

Зображення з назвою Solve Quadratic Equations Step 5

5. Перевірте x = -1/3, підставивши це значення в (3x + 1) (x - 4) = 0:

(3 [-1/3] + 1) ([- 1/3] - 4) ?=? 0 ..... шляхом підстановки

(-1 + 1) (- 4 1/3) ?=? 0 ..... після спрощення

(0) (- 4 1/3) = 0 ..... після множення

0 = 0, отже, x = -1/3 - правильна відповідь.

Зображення з назвою Solve Quadratic Equations Step 6

6. Перевірте x = 4, підставивши це значення в (3x + 1) (x - 4) = 0:

(Зю4щ + 1) (ю4щ - 4) ?=? 0 ..... шляхом підстановки

(13) (4 - 4) ?=? 0 ..... після спрощення

(13) (0) = 0 ..... після множення

0 = 0, отже, x = 4 - правильна відповідь.

Таким чином, обидва рішення є вірними.

Метод 2 з 3:

Використання формули коренів квадратного рівняння

1. Об`єднайте всі члени і запишіть з одного боку рівняння. збережіть значення

x 2

$x ^ {2}$ позитивним. Запишіть члени в порядку зменшення ступенів, таким чином член

з 2

$x ^ {2}$ пишеться першим, далі

з

і потім постійна:

4x - 5x - 13 = x -5
4x - x - 5x - 13 +5 = 0
3x - 5x - 8 = 0

Зображення з назвою Solve Quadratic Equations Step 8

2. Запишіть формулу коренів квадратного рівняння. Формула має такий вигляд:

- в \pm \sqrt{в} 2 - 4 а з 2 а

${ Frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}$

Зображення з назвою Solve Quadratic Equations Step 9

3. Визначте значення a, b і c в квадратному рівнянні. Мінлива a - коефіцієнт члена x, b - члена x, з - постійна. Для рівняння 3x -5x - 8 = 0, a = 3, b = -5, і c = -8. Запишіть це.

Зображення з назвою Solve Quadratic Equations Step 10

4. Підставте значення a, b і c в рівняння. Знаючи значення трьох змінних, ви можете підставити їх в рівняння таким чином:

{-B +/- √ (b - 4ac)} / 2

{- (- 5) +/- √ ((-5) - 4 (3) (- 8))} / 2 (3) =

{- (- 5) +/- √ ((-5) - (-96))} / 2 (3)

Зображення з назвою Solve Quadratic Equations Step 11

5. Підрахуйте. Підставивши значення, спростите плюси і мінуси, перемножте або зведіть в квадрат залишилися члени:

{- (- 5) +/- √ ((-5) - (-96))} / 2 (3) =

{5 +/- √ (25 + 96)} / 6

{5 +/- √ (121)} / 6

Зображення з назвою Solve Quadratic Equations Step 12

6. Спростіть квадратний корінь. Якщо число під знаком квадратного кореня - квадрат, ви отримаєте ціле число. Якщо немає, спростите його до найбільш простого значення кореня. Якщо число від`ємне, і ви впевнені, що воно повинно бути негативним, то коріння будуть складні. У цьому прикладі √ (121) = 11. Можете записати, що x = (5 +/- 11) / 6.

Зображення з назвою Solve Quadratic Equations Step 13

7. Знайдіть позитивні і негативні рішення. Якщо ви видалили знак квадратного кореня, то можете продовжувати до тих пір, поки не знайдете позитивні і негативні значення x. Маючи (5 +/- 11) / 6, можна записати:

(5 + 11) / 6

(5 - 11) / 6

Зображення з назвою Solve Quadratic Equations Step 14

8. Знайдете позитивні і негативні значення. Просто порахуйте:

(5 + 11) / 6 = 16/6

(5-11) / 6 = -6/6

Зображення з назвою Solve Quadratic Equations Step 15

я. Спростіть. Для цього просто розділіть обидва на найбільший спільний дільник. Першу дріб ділите на 2, другу на 6, x знайдений.

16/6 = 8/3

-6/6 = -1

x = (-1, 8/3)

Метод 3 з 3:

Доповнення до повного квадрата

1. Перенесіть всі члени на одну сторону рівняння. а або x повинен бути позитивним. Це робиться так:

2x - 9 = 12x =
2x - 12x - 9 = 0

У цьому рівнянні а: 2, в: -12,з: -я.

Зображення з назвою Solve Quadratic Equations Step 17

2. перенесіть член з (Постійну) на іншу сторону. Постійна - це член рівняння, що містить тільки числове значення, без змінних. Перенесіть її в праву частину:

2x - 12x - 9 = 0

2x - 12x = 9

Зображення з назвою Solve Quadratic Equations Step 18

3. Розділіть обидві частини на коефіцієнт а або x. Якщо x не має коефіцієнта, то він дорівнює одиниці і цей крок можна пропустити. У нашому прикладі всі члени ділимо на 2:

2x / 2 - 12x / 2 = 9/2 =

x - 6x = 9/2

Зображення з назвою Solve Quadratic Equations Step 19

4. розділіть в на 2, зведіть в квадрат і додайте до обох сторін. У нашому прикладі в одно -6:

-6/2 = -3 =

(-3) = я =

x - 6x + 9 = 9/2 + 9

Зображення з назвою Solve Quadratic Equations Step 20

5. Спростіть обидві сторони. Зведіть в квадрат члени зліва і вийде (x-3) (x-3), або (x-3). Складіть члени справа і вийде 9/2 + 9, або 9/2 + 18/2, що дорівнює 27/2.

Зображення з назвою Solve Quadratic Equations Step 21

Вийміть квадратний корінь з обох частин. Квадратний корінь з (x-3) дорівнює просто (x-3). Квадратний корінь з 27/2 можна записати як ± √ (27/2). Таким чином, x - 3 = ± √ (27/2).

Зображення з назвою Solve Quadratic Equations Step 22

Спростіть подкоренное вираз і знайдіть x. Щоб спростити ± √ (27/2), знайдіть повний квадрат в числах 27 і 2 або їх множниках. У 27 є повний квадрат 9, адже 9 x 3 = 27. Щоб вивести 9 з під знака кореня, вийміть з нього корінь і винесіть 3 з-під знака кореня. Залиште 3 в чисельнику дробу під знаком кореня, так як цей множник витягти не можна, а також залиште 2 знизу. Далі перенесіть постійну 3 з лівої частини рівняння в праву і запишіть два рішення для x:

x = 3 + (√6) / 2

x = 3 - (√6) / 2)

Поради

Якщо число під знаком кореня не повний квадрат, то останні кілька кроків виконуються трохи інакше. Ось приклад:
Як бачите, знак кореня не зник. Таким образ члени в чисельнику об`єднати не можна. Тоді немає сенсу розбивати плюс-або-мінус. Замість цього ми ділимо будь-яких загальних множники - але тільки якщо множник загальний для постійної і коефіцієнта кореня.