Як знайти площу п`ятикутника

П`ятикутник - це багатокутник, у якого п`ять кутів. У переважній більшості завдань ви зіткнетеся з правильним п`ятикутником, у якого всі сторони рівні. Є два основних способи знайти площу п`ятикутника (в залежності від відомих вам величин).

кроки

Метод 1 з 3:

Обчислення площі за відомою стороні і апофеме

1. Дано сторона і апофема. Цей метод можна застосовувати до правильного п`ятикутника, у яких всі сторони рівні. Апофема - це відрізок, що з`єднує центр п`ятикутника і середину будь-який з його сторін-апофема завжди перпендикулярна стороні п`ятикутника.

Не плутайте апофему з радіусом описаного кола. Такий радіус - це відрізок, що з`єднує центр п`ятикутника з його вершиною (а не серединою сторони). Якщо вам дана сторона і радіус описаного кола, перейдіть до наступної глави.
Наприклад, дано п`ятикутник зі стороною 3 см і апофемой 2 см.

Зображення з назвою Find the Area of a Regular Pentagon Step 2

2. Розділіть п`ятикутник на п`ять рівних трикутників. Для цього з`єднаєте центр п`ятикутника з кожної з його вершин.

Зображення з назвою Find the Area of a Regular Pentagon Step 3

3. Обчисліть площу трикутника. Підстава кожного трикутника - це сторона п`ятикутника, а висота кожного трикутника - це апофема п`ятикутника. Для обчислення площі трикутника перемножте половину підстави і висоту, тобто площа = ½ х підставу х висоту.

У нашому прикладі площа трикутника = ½ х 3 х 2 = 3 квадратних сантиметра.

Зображення з назвою Find the Area of a Regular Pentagon Step 4

4. Помножте знайдену площу трикутника на 5, щоб обчислити площу п`ятикутника. Це вірно, так як ми розділили п`ятикутник на п`ять рівних трикутників.

У нашому прикладі площа п`ятикутника = 5 х площа трикутника = 5 х 3 = 15 квадратних сантиметрів.

Метод 2 з 3:

Обчислення площі за відомою стороні

1. Якщо дана сторона. Цей метод можна застосовувати до правильного п`ятикутника, у яких всі сторони рівні.

Наприклад, дано п`ятикутник зі стороною 7 см.

Зображення з назвою Find the Area of a Regular Pentagon Step 6

Зображення з назвою Find the Area of a Regular Pentagon Step 7

3. Розділіть трикутник навпіл. Для цього з вершини трикутника, яка лежить в центрі п`ятикутника, опустіть перпендикуляр до протилежної сторони трикутника, яка дорівнює стороні п`ятикутника. Ви отримаєте два рівних прямокутних трикутника.

Зображення з назвою Find the Area of a Regular Pentagon Step 8

4. Дайте позначення одного з прямокутних трикутників.

підстава прямокутного трикутника - це половина боку п`ятикутника. У нашому прикладі основа дорівнює ½ х 7 = 3,5 см.

кут навколо центру п`ятикутника дорівнює 360˚. Розділивши п`ятикутник на п`ять рівних трикутників, а потім розділивши кожен трикутник навпіл, ви поділіть кут навколо центру п`ятикутника на 10 рівних частин, тобто кут прямокутного трикутника, протилежний основи, дорівнює 360 ° / 10 = 36˚.

Зображення з назвою Find the Area of a Regular Pentagon Step 9

5. Обчисліть висоту трикутника. Висота прямокутного трикутника дорівнює його катета, відмінному від заснування. використовуйте тригонометричні функції, щоб знайти висоту трикутника.

У прямокутному трикутнику тангенс кута дорівнює відношенню противолежащей боку до прилеглої стороні.

У нашому прикладі для кута в 36˚ противолежащей стороною є підстава, а прилеглої - висота.

tg 36˚ = протилежна сторона / прилежащая сторона

У нашому прикладі tg 36˚ = 3,5 / висота

Висота х tg 36˚ = 3,5

Висота = 3,5 / tg 36˚

Висота = 4,8 см (приблизно)

Зображення з назвою Find the Area of a Regular Pentagon Step 10

Знайдіть площу трикутника. Площа трикутника = ½ х підставу х висота (А = ½bh). Знаючи підставу і висоту, ви можете знайти площу прямокутного трикутника.

У нашому прикладі площа прямокутного трикутника = ½bh = ½ (3,5) (4,8) = 8,4 квадратних сантиметрів.

Зображення з назвою Find the Area of a Regular Pentagon Step 11

7. Помножте знайдену площу прямокутного трикутника на 10, щоб обчислити площу п`ятикутника. Це вірно, так як ми розділили п`ятикутник на десять рівних прямокутних трикутників.

У нашому прикладі площа п`ятикутника дорівнює 8,4 х 10 = 84 квадратних сантиметра.

Метод 3 з 3:

формули

1. Дано периметр і апофема. Апофема - це відрізок, що з`єднує центр п`ятикутника і середину будь-який з його сторін-апофема завжди перпендикулярна стороні п`ятикутника.

A = ра / 2, де р - периметр, а - апофема.
Якщо дана сторона, обчисліть периметр правильного п`ятикутника за формулою: p = 5s, де s - сторона п`ятикутника.

Зображення з назвою Find the Area of a Regular Pentagon Step 13

2. дана сторона. Якщо дана тільки сторона п`ятикутника, використовуйте наступну формулу:

А = (5з) / (4tg36˚), де s - сторона п`ятикутника.

tg36˚ = √ (5-2√5). Якщо на калькуляторі немає функції тангенса, використовуйте наступну формулу: А = (5з) / (4√ (5-2√5)).

Зображення з назвою Find the Area of a Regular Pentagon Step 14

3. Дан радіус описаного кола. В цьому випадку для обчислення площі п`ятикутника використовуйте наступну формулу:

A = (5/2)рsin72˚, де r - радіус описаного кола.

Поради

Складніше працювати з неправильним п`ятикутником (це п`ятикутник, сторони якого мають різну довжину). В цьому випадку розділіть п`ятикутник на трикутники, знайдіть їх площі і складіть значення площ. Ви також можете окреслити п`ятикутник правильною фігурою, обчислити її площу, а потім відняти площу додаткового простору.
Формули, отримані геометричним шляхом, аналогічні формулам, які описані в цій статті. Подумайте, чи зможете ви вивести ці формули. Формулу, що включає радіус описаного кола, вивести важче (натяк: розглядайте подвоєний кут при центрі п`ятикутника).
У наведених у цій статті прикладах використовуються заокруглені значення, щоб спростити обчислення. Якщо ви працюєте з реальним многоугольником, то ви отримаєте інші результати для інших довжин і площ.
Якщо можливо, обчисліть площа п`ятикутника, використовуючи обидва описаних методу. Потім порівняйте результати, щоб підтвердити правильність відповіді.