Як знайти гіпотенузу

Всі прямокутні трикутники мають один прямий кут (90 градусів), а протилежна йому сторона називається гіпотенузою. Гіпотенуза - найдовша сторона трикутника, і знайти її можна різними способами. У цій статті ми розповімо вам, як знайти гіпотенузу по теоремі Піфагора (коли відомі довжини двох інших сторін трикутника), по теоремі синусів (коли відомі довжина катета і кут) і в деяких окремих випадках (часто такі завдання зустрічаються на контрольних і тестах).

кроки

Метод 1 з 3:

теорема Піфагора

1. Теорема Піфагора пов`язує всі сторони прямокутного трикутника. Відповідно до даної теоремі, в будь-якому прямокутному трикутнику з катетами «а» і «b» і гіпотенузою «с»: a + b = c.

Зображення з назвою Find the Length of the Hypotenuse Step 2

2. Переконайтеся, що даний вам трикутник є прямокутним, так як теорема Піфагора може бути застосована тільки до прямокутним трикутниках. У прямокутних трикутниках один з трьох кутів завжди дорівнює 90 градусам.

Прямий кут в прямокутному трикутнику позначається значком у вигляді квадрата.

Зображення з назвою Find the Length of the Hypotenuse Step 3

3. Позначте боку трикутника. Катети позначте як «а» і «b» (катети - сторони, що перетинаються під прямим кутом), а гіпотенузу - як «с» (гіпотенуза - найбільша сторона прямокутного трикутника, що лежить навпроти прямого кута). Потім підставте дані вам значення в формулу.

Наприклад, катети трикутника дорівнюють 3 і 4. В цьому випадку а = 3, b = 4, а формула виглядає так: 3 + 4 = c.

Зображення з назвою Find the Length of the Hypotenuse Step 4

4. Зведіть в квадрат значення катетів («a» і «b»). Для цього просто помножте число саме на себе:

Якщо a = 3, то a = 3 x 3 = 9.Якщо b = 4, то b = 4 x 4 = 16.

Підставте ці значення в формулу: 9 + 16 = з.

Зображення з назвою Find the Length of the Hypotenuse Step 5

5. Складіть знайдені квадрати катетів (a і b), щоб обчислити квадрат значення гіпотенузи (с).

У нашому прикладі я + 16 = 25, тому з = 25.

Зображення з назвою Find the Length of the Hypotenuse Step 6

6. Знайдіть квадратний корінь з. Використовуйте калькулятор, щоб витягти квадратний корінь з знайденого значення. Так ви обчисліть гіпотенузу трикутника.

У нашому прикладі з = 25. Квадратний корінь з 25 дорівнює 5 (так як 5 х 5 = 25, тому √25 = 5). Це означає, що гіпотенуза з = 5.

Метод 2 з 3:

окремі випадки

1. Визначення Піфагора трійки. Числа Піфагора - це три числа (довжини трьох сторін), які задовольняють теоремі Піфагора. Дуже часто трикутники з такими сторонами наводяться в підручниках і на тестах. Якщо ви запам`ятаєте перші кілька піфагорових трійок, ви заощадите багато часу на тестах або іспитах, тому що зможете обчислити гіпотенузу, просто глянувши на довжини катетів.

Перша Числа Піфагора: 3-4-5 (3 + 4 = 5, я + 16 = 25). Якщо дано трикутник з катетами 3 і 4, то ви можете з упевненістю заявити, що гіпотенуза дорівнює 5 (без необхідності робити будь-які розрахунки).
Піфагорові трійки працюють навіть в тому випадку, коли числа помножені або розділені на один коефіцієнт. Наприклад, якщо катети рівні 6 і 8, гіпотенуза дорівнює 10 (6 + 8 = 10, 36 + 64 = 100). Те ж саме вірно для я-12-15 і навіть для 1,5-2-2,5.
Друга Числа Піфагора: 5-12-13 (5 + 12 = 13, 25 + 144 = 169). Також до цієї трійці відносяться, наприклад, числа 10-24-26 і 2,5-ш-ш, 5.

Зображення з назвою Find the Length of the Hypotenuse Step 8

2. Рівнобедрений прямокутний трикутник. Це такий трикутник, кути якого рівні 45,45 і 90 градусам. Співвідношення між сторонами цього трикутника одно 1: 1: √2. Це означає, що гіпотенуза в такому трикутнику дорівнює добутку катета і квадратного кореня з 2.

Щоб обчислити гіпотенузу такого трикутника, просто помножте довжину будь-якого катета на √2.

Це співвідношення особливо зручно, коли в задачах замість числових значень даються змінні.

Зображення з назвою Find the Length of the Hypotenuse Step 9

3. Половина рівностороннього прямокутного трикутника. Це такий трикутник, кути якого рівні 30,60 і 90 градусам. Співвідношення між сторонами цього трикутника одно 1: √3: 2 або х: х√3: 2х. Щоб знайти гіпотенузу в такому трикутнику виконайте одну з таких дій:

Якщо вам дано короткий катет (протилежні кутку в 30 градусів), просто помножте довжину цього катета на 2, щоб знайти довжину гіпотенузи. Наприклад, якщо короткий катет дорівнює 4, то гіпотенуза дорівнює 8.

Якщо вам дано довгий катет (протилежні кутку в 60 градусів), просто помножте довжину цього катета на 2 / √3, щоб знайти довжину гіпотенузи. Наприклад, якщо короткий катет дорівнює 4, то гіпотенуза дорівнює 4,62.

Метод 3 з 3:

теорема синусів

1. Зрозумійте, що означає «синус». Синус, косинус і тангенс кута - це основні тригонометричні функції, що зв`язують кути і сторони в прямокутному трикутнику. Синус кута дорівнює відношенню противолежащей боку до гіпотенузи. Позначається синус як sin.

Зображення з назвою Find the Length of the Hypotenuse Step 11

2. Навчіться обчислювати синус. Щоб обчислити синус, на калькуляторі знайдіть клавішу sin, натисніть її, а потім введіть значення кута. У деяких калькуляторах спочатку потрібно натиснути клавішу переходу до роботи з функціями, а потім натиснути клавішу sin. Тому поекспериментуйте з калькулятором або перевірте його документацію.

Щоб знайти синус кута в 80 градусів, натисніть «sin», «8», «0», «=» або натисніть «8», «0», «sin», «=» (відповідь: -0,9939).

Ви також можете знайти онлайн-калькулятор, ввівши в пошуковій системі «обчислення синуса» (без лапок).

Зображення з назвою Find the Length of the Hypotenuse Step 12

3. Запам`ятайте теорему синусів. Теорема синусів є корисним інструментом для обчислення кутів і сторін будь-якого трикутника. Зокрема, вона допоможе вам знайти гіпотенузу прямокутного трикутника, якщо вам дано катет і кут, відмінний від прямого. Згідно з теоремою синусів, в будь-якому трикутнику зі сторонами а, в, з і кутами А, В, З вірно рівність a / sin А = b / sin В = c / sin З.

Теорема синусів застосовується до будь-яких трикутниках, а не тільки до прямокутним (але тільки в прямокутному трикутнику є гіпотенуза).

Зображення з назвою Find the Length of the Hypotenuse Step 13

4. Позначте боку трикутника через «а» (відомий катет), «b» (невідомий катет), «с» (гіпотенуза). Потім позначте кути трикутника через «А» (навпроти катета «а»), «В» (навпроти катета «b»), «С» (навпроти гіпотенузи).

Зображення з назвою Find the Length of the Hypotenuse Step 14

5. Знайдіть третій кут. Якщо вам дано один з гострих кутів прямокутного трикутника (А або В), А другий кут завжди дорівнює 90 градусам (С = 90), То третій кут обчислюється за формулою180 - (90 + А) = B (Пам`ятаєте, що сума кутів в будь-якому трикутнику дорівнює 180 градусам). При необхідності рівняння можна змінити і так: 180 - (90 + B) = A.

Наприклад, якщо кут A = 40 градусам, то B = 180 - (90 + 40) = 180 - 130 = 50 градусів.

Зображення з назвою Find the Length of the Hypotenuse Step 15

6. На даному етапі вам відомі значення всіх трьох кутів і довжина катета «а». Тепер ви можете підставити ці значення в формулу теореми синусів, щоб знайти дві інші сторони.

У нашому прикладі припустимо, що катет а = 10, а кути рівні C = 90˚, A = 40˚, В = 50˚.

Зображення з назвою Find the Length of the Hypotenuse Step 16

7. Підставте дані і знайдені значення в теорему синусів, щоб знайти гіпотенузу: катет «а» / синус кута «A» = гіпотенуза «с» / синус кута «С». При цьому sin 90˚ = 1. Таким чином, рівняння спрощується до: а / sinA = с / 1 або з = а / sinA.

Зображення з назвою Find the Length of the Hypotenuse Step 17

8. Розділіть довжину катета «а» на синус кута «А», щоб знайти довжину гіпотенузи. Для цього спочатку знайдіть синус кута, а потім виконайте розподіл. Або ви можете скористатися калькулятором, ввівши 10 / (sin40) або 10 / (40sin) (Не забудьте про дужки).

У нашому прикладі sin 40 = 0,64278761, а з = 10 / 0,64278761 = 15,6.