Як знайти площу рівнобедреного трикутника

Трикутник - це трикутник, у якого дві сторони рівні. Рівні (бічні) сторони перетинають третю сторону (підстава) під одним кутом, а точка перетину рівних сторін знаходиться над серединою підстави. У цьому можна переконатися за допомогою лінійки і двох олівців однакової довжини: якщо нахилити трикутник в одну або іншу сторону, кінчики олівців Ти не будеш поєднаний. Такі властивості рівнобедреного трикутника дозволяють обчислити його площу всього лише по кільком відомим величинам.

кроки

Метод 1 з 2:

Як обчислити площу по бічних сторонах

1. З`ясуйте, як знайти площу паралелограма. Квадрати і прямокутники є паралелограма, як і будь-яка інша чотиристороння фігура, у якої протилежні сторони паралельні. Площа паралелограма обчислюється за формулою: S = bh, де «b» - підстава (нижня сторона паралелограма), «h» - висота (відстань від верхньої до нижньої сторони-висота завжди перетинає підставу під кутом 90 °).

У квадратах і прямокутниках висота дорівнює бічній стороні, так як бічні сторони перетинають верхню і нижню сторони під прямим кутом.

Зображення з назвою Find the Area of an Isosceles Triangle Step 2

2. Порівняйте трикутники і паралелограми. Між цими фігурами існує простий зв`язок. Якщо будь-який паралелограм розрізати по діагоналі, вийдуть два рівних трикутника. Аналогічно, якщо скласти два рівних трикутника, вийде паралелограм. Тому площа будь-якого трикутника обчислюється за формулою: S = ½bh, що становить половину площі паралелограма.

Зображення з назвою Find the Area of an Isosceles Triangle Step 3

3. Знайдіть основу рівнобедреного трикутника. Тепер ви знаєте формулу для обчислення площі треугольніка- залишилося з`ясувати, що таке «підстава» і «висота». Підстава (позначається як «b») - це сторона, яка не дорівнює двом іншим (рівним) сторонам.

Наприклад, якщо сторони рівнобедреного трикутника рівні 5 см, 5 см, 6 см, в якості підстави виберіть сторону, яка дорівнює 6 см.

Якщо всі сторони трикутника рівні (рівносторонній трикутник), в якості підстави виберіть будь-яку сторону. Рівносторонній трикутник є окремим випадком рівнобедреного трикутника, але його площа обчислюється так само.

Зображення з назвою Find the Area of an Isosceles Triangle Step 4

4. Опустіть перпендикуляр на підставу. Зробіть це з вершини трикутника, яка протилежна основи. Пам`ятайте, що перпендикуляр перетинає підставу під прямим кутом. Такий перпендикуляр є висотою трикутника (позначається як «h»). Як тільки ви знайдете значення «h», ви зможете обчислити площу трикутника.

У трикутник висота перетинає підставу точно посередині.

Зображення з назвою Find the Area of an Isosceles Triangle Step 5

5. Подивіться на половину рівнобедреного трикутника. Зверніть увагу, що висота розділила трикутник на два рівних прямокутних трикутника. Подивіться на один з них і знайдіть його боку:

Коротка сторона дорівнює половині підстави:

\frac{в}{2}

Друга сторона - це висота «h».

Гіпотенуза прямокутного трикутника є бічною стороною рівнобедреного треугольніка- позначимо її як «s».

Зображення з назвою Find the Area of an Isosceles Triangle Step 6

Скористайтеся теоремою Піфагора. Якщо відомі дві сторони прямокутного трикутника, його третю сторону можна обчислити по теоремі Піфагора: (сторона 1) + (сторона 2) = (гіпотенуза). У нашому прикладі теорема Піфагора запишеться так:

(\frac{в}{2})^{2} + х^{2} = з^{2}

$({ Frac {b} {2}}) ^ {2} + h ^ {2} = s ^ {2}$ .

Швидше за все, теорема Піфагора вам відома в такому записі:

а 2 + в^{2} = з^{2}

$a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2}$ . Ми вживаємо слова «сторона 1», «сторона 2» і «гіпотенуза», щоб запобігти плутанині зі змінними з прикладу.

Зображення з назвою Find the Area of an Isosceles Triangle Step 7

7. Розрахуйте значення «h». Пам`ятайте, що у формулі для обчислення площі трикутника є змінні «b» і «h», але значення «h» невідомо. Перепишіть формулу, щоб обчислити «h»:

(\frac{в}{2})^{2} + х^{2} = з^{2}

$({ Frac {b} {2}}) ^ {2} + h ^ {2} = s ^ {2}$

х 2 = з^{2} - (\frac{в}{2})^{2}

$h ^ {2} = s ^ {2} - ({ frac {b} {2}}) ^ {2}$

h = \sqrt{(} з^{2} - (\frac{в}{2})^{2})

$h = { sqrt (} s ^ {2} - ({ frac {b} {2}}) ^ {2})$ .

Зображення з назвою Find the Area of an Isosceles Triangle Step 8

8. У формулу підставте відомі значення і обчисліть «h». Цю формулу можна застосувати до будь-якого рівнобедреного трикутника, сторони якого відомі. Замість «b» підставте значення підстави, а замість «s» - значення збоку, щоб знайти значення «h».

У нашому прикладі: b = 6 см-s = 5 см.

Підставте значення в формулу:

х = \sqrt{(} з^{2} - (\frac{в}{2})^{2})

$h = { sqrt (} s ^ {2} - ({ frac {b} {2}}) ^ {2})$

х = \sqrt{(} 5^{2} - (\frac{6}{2})^{2})

$h = { sqrt (} 5 ^ {2} - ({ frac {6} {2}}) ^ {2})$

х = \sqrt{(} 25 - 3^{2})

$h = { sqrt (} 25-3 ^ {2})$

х = \sqrt{(} 25 - я)

х = \sqrt{(} 16)

х = 4

см.

Зображення з назвою Find the Area of an Isosceles Triangle Step 9

я. Підставте значення підстави і висоти в формулу для обчислення площі трикутника. Формула: S = ½bh- підставте в неї значення «b» і «h» і обчисліть площа. У відповіді не забудьте написати квадратні одиниці виміру.

У нашому прикладі основа дорівнює 6 см, а висота дорівнює 4 см.

S = ½bh
S = ½ (6 см) (4 см)
S = 12 см.

Зображення з назвою Find the Area of an Isosceles Triangle Step 10

10. Розглянемо більш складний приклад. У більшості випадків вам буде дана більш важке завдання, ніж розглянута в нашому прикладі. Щоб обчислити висоту, потрібно витягти квадратний корінь, який, як правило, не витягується без остачі. В цьому випадку запишіть значення висоти у вигляді спрощеного квадратного кореня. Ось новий приклад:

Обчисліть площу рівнобедреного трикутника, сторони якого рівні 8 см, 8 см, 4 см.

В якості підстави «b» виберіть сторону, яка дорівнює 4 см.

Висота:

h = \sqrt{8} 2 - (\frac{4}{2})^{2}

$h = { sqrt {8 ^ {2} - ({ frac {4} {2}}) ^ {2}}}$

= \sqrt{64 - 4}

= \sqrt{60}

Спростіть квадратний корінь з допомогою множників:

х = \sqrt{60} = \sqrt{4 * 15} = \sqrt{4} \sqrt{15} = 2 \sqrt{15} .

h = { sqrt {60}} = { sqrt {4 * 15}} = { sqrt {4}} { sqrt {15}} = 2 { sqrt {15}}

= \frac{1}{2} в х

= \frac{1}{2} (4) (2 \sqrt{15})

= 4 \sqrt{15}

Відповідь можна записати з коренем або витягти корінь на калькуляторі і записати відповідь у вигляді десяткового дробу (S ≈ 15,49 см).

Метод 2 з 2:

Як обчислити площу за допомогою тригонометричних функцій

1. Обчисліть площу по бічній стороні і прилеглому куту. Якщо ви знайомі з тригонометричними функціями, площа рівнобедреного трикутника можна обчислити по бічній стороні і прилеглому куту. наприклад:

Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 10 см.
Кут θ між двома рівними сторонами дорівнює 120 °.

Зображення з назвою Find the Area of an Isosceles Triangle Step 12

2. Розділіть трикутник на два рівних прямокутних трикутника. Для цього опустіть перпендикуляр (висоту) з вершини трикутника, яка утворена двома рівними сторонами, на підставу.

Висота ділить кут θ рівно навпіл. Таким чином, один з кутів прямокутного трикутника дорівнює ½θ, а в нашому прикладі (½) (120) = 60 °.

Зображення з назвою Find the Area of an Isosceles Triangle Step 13

3. Обчисліть висоту «h» за допомогою тригонометричних функцій. До прямокутного трикутника можна застосувати наступні тригонометричні функції: sin (синус), cos (косинус) і tg (тангенс). У нашому прикладі відома гіпотенуза «s» - потрібно знайти «h», тобто катет, прилеглий до відомого кутку. Згадайте, що косинус = прилегла катет / гіпотенуза.

cos (θ / 2) = h / s

cos (60 °) = h / 10

h = 10cos (60º)

Зображення з назвою Find the Area of an Isosceles Triangle Step 14

4. Розрахуйте значення другого катета. Тепер ми не знаємо значення другого катета прямокутного треугольніка- позначимо його як «x». Згадайте, що синус = протилежний катет / гіпотенуза.

sin (θ / 2) = x / s

sin (60º) = x / 10

x = 10sin (60 °)

Зображення з назвою Find the Area of an Isosceles Triangle Step 15

5. Зверніть увагу, що другий катет прямокутного трикутника дорівнює половині підстави рівнобедреного трикутника. Тобто b = 2x, тому що висота (перший катет) розділила підставу навпіл (на два катета, кожен з яких дорівнює значенню «x»).

Зображення з назвою Find the Area of an Isosceles Triangle Step 16

6. Підставте значення «h» і «b» в формулу для обчислення площі. Тепер, коли ви знаєте підставу і висоту, підставте їх в формулу S = ½bh:

З = \frac{1}{2} в х

$S = { frac {1} {2}} bh$

= \frac{1}{2} (2 з) (10 з про з 60)

= (10 з і н 60) (10 з про з 60)

= 100 з і н (60) з про з (60)

Якщо обчислити синус і косинус на калькуляторі, ви знайдете, що S ≈ 43,3 см. Якщо хочете, скористайтеся властивостями тригонометричних функцій, спростите відповідь і запишіть його так: S = 50sin (120 °).

Зображення з назвою Find the Area of an Isosceles Triangle Step 17

7. Запишіть універсальну формулу. Тепер, коли ви познайомилися з повним процесом обчислення площі рівнобедреного трикутника, можна користуватися універсальною формулою, яка дозволить скоротити цей процес. Якщо ви повторите описаний процес без числових значень і спростите ряд виразів, ви отримаєте наступну універсальну формулу:

З = \frac{1}{2} з^{2} з і н θ

$С = {ефрац {1} {2}} з ^ {2} сінетнета$

s - одна з двох бічних (рівних) сторін.

θ - кут між двома бічними (рівними) сторонами.

Поради

Якщо дан рівнобедрений прямокутний трикутник (з двома рівними катетами і прямим кутом), обчислити його площу дуже просто. Один катет буде підставою, а другий - висотою, тому формула S = ½bh запишеться так: S = ½s, де s - катет.
З квадратного кореня можна витягти два значення - позитивне і негативне, але в геометричних задачах від`ємним значенням можна знехтувати. Наприклад, висота трикутника не може бути негативною.
У деяких завданнях будуть дані інші величини, наприклад, підстава та один кут рівнобедреного трикутника. В цьому випадку дійте так само: розділіть трикутник на два рівних прямокутних трикутника, а потім знайдіть висоту за допомогою тригонометричних функцій.